Cũng giống các hình khác, công thức tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi khá quan trọng không chỉ cho các bài tập của các em học sinh, sinh viên mà còn áp dụng cả vào trong thực tiễn cuộc sống, giúp hỗ trợ rất nhiều trong công việc và giải quyết những bài toán khó, mang tính hóc búa.
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, và hình thoi là dạng đặc biệt của hình bình hành.
Tính chất của hình thoi
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Hai đường chéo là các đường đường phân giác của hình thoi.
Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thoi
Dấu hiệu nhận biết hình thoi
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Công thức tính diện tích hình thoi
Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
Công thức tính diện tích hình: S = 1/2 (d1 x d2)
Trong đó:
- S: Là diện tích của hình thoi.
- d1 , d2 : Lần lượt là kích thước của hai đường chéo hỉnh thoi.
Công thức tính diện tích hình thoi
Ví dụ minh họa:
Tính diện tích hình thoi biết chiều dài đường chéo d1 = 4cm, d2 = 8cm.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi ta có:S= ½ x (d1 x d2) = ½ x (4×6) = 12cm2.
Với ví dụ trên để bạn biết được áp dụng kiến thức cơ bản để tính diện tích hình thoi, trên thực tế sẽ có rất nhiều dạng bài toán từ cơ bản tới nâng cao để giúp bạn biết được mối liên quan giữa các công thức, và cách tính các đơn vị còn lại.
Cách tính chu vi hình thoi
Chu vi hình thoi bằng 4 lần chiều dài một cạnh.
Công thức tính chu vi hình thoi: P = 4xa.
Trong đó:
- P: Là ký hiệu chu vi hình thoi.
- a: Chiều dài của một cạnh.
Công thức tính chu vi hình thoi
Ví dụ minh họa:
Tính chu vi hình thoi biết độ dài một cạnh hình thoi là a = 4cm.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính chu vi hình thoi ta có: P = 4a = 4 x 4 = 16cm.
Các dạng bài tính diện tích chu vi hình thoi
Tính diện tích hình thoi khi biết độ dài cạnh và đường chéo
Bài toán1:
Cho hình thoi ABCD có độ dài AB = 10cm, đường chéo AC = 16cm. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
Theo tính chất hình thoi ta có OC = ½ AC = 16/2 =8cm.
Xét tam giác vuông BOC ta có:
Theo định nghĩa Pitago: OB2 = BC2 – OC2 = 102 – 82 = 362 => OB = 6cm.
Vậy độ dài đường chéo DB = 2 BO = 2×6 = 12cm.
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi ta có SABCD = ½ AC x BD = ½ x 12 x 16 = 96m2.
Tính diện tích hình thoi khi biết góc
Bài tập 2:
Tính diện tích hình thoi ABCD khi biết AD = 5cm, góc A =30o.
Tính diện tích hình thoi ABCD
Lời giải:
Do ABCD là hình thoi nên các tam giác xung quanh đều là tam giác cân.
Gọi H là trung điểm của hai đườngchéo AC và BD => AH vuông góc với BD. Ta có góc HAB = 15o (Do tính chất hình thang thì là đường phân giác của tam giác cân).
=>AH = AB x CosHAB (cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân với Cos góc kề).
= 5.Cos15o = 4.8cm.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH ta có:
BH2 = AB2 – AH2 = 52 – 4.82 => AH = 1.4cm.
=> DB = 2HB = 2×1.4 = 2.8cm.
Áp dụng công thức tính hình thoi ABCD ta có
SABCD = 2SABD (vì hai tam giác ABD và CDB bằng nhau)
SABC = ½ BD x AH = ½ x 2.8 x 4.8 = 13.44cm2.
Nên SABCD = 2 x 13.44 = 26.88 cm2.
Tính chu vi hình thoi khi biết 2 đường chéo
Bài tập 3:
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cẳt nhau tại O biết rằng, AC = 4cm, BD = 6cm. Tính chu vi của hình thoi ABCD.
Lời giải:
Theo tính chất hình thoi: Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại chung điểm mỗi đường = > AO = AC = AC/2 = 4/2 = 2cm và DO = OB = BD/2 = 6/2 = 3cm.
Xét tam giác ADO vuông tại O, áp dụng định lý Pitago ta có:
AD2 = AO2 + OD2 = 22 + 32 = 13 => AD = 3.605cm.
Áp dụng công thức tính chu vi hình thoi ta có:
PABCD = 4 x AD = 4 x 3.605 = 14.42 cm2.
Tính diện tích khi biết hiệu, tỉ số đường chéo
Bài toán 4:
Cho hình thoi có hiệu độ dài hai đường chéo là 15cm, biết đường chéo thứ nhất gấp 4 lần đường chéo thứ hai. Tính diện tích hình thoi? (đơn vị tính cm).
Lời giải:
Nếu chiều dài của đường chéo thứ 2 là 1phần thì đường chéo thứ 1 sẽ là 4 phần
Hiệu số phần bằng nhau của hai đường chéo là: 4-1 = 3.
Độ dài đường chéo thứ 1 là: 15:3×4 = 20cm.
Độ dài đường chéo thứ 2 là: 20/4 = 5cm.
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi ta có S = ½ x 20 x 5 = 50cm2
So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình bất kỳ khi biết chu vi các hình
Bài tập 4:
Cho hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình nào lớn hơn?
So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình vuông có cùng chu vi
Lời giải.
Gọi a là độ dài một cạnh của hình vuông MNPQ
Áp dụng công thức tính chu vi hình vuông ta có: CMNPQ = 4a = > CABCD = 4a.
Nên cạnh hình thoi và hình vuông đều có độ dài là a.
Ta có: Áp dụng công thức tính diện tích của hình vuông: SMNPQ = a2.
Trong hình thoi ABCD từ đỉnh A kẻ đường cao AH giao với DC tại H và có độ dài h.
Vì hình thoi cũng là dạng đặc biệt của hình bình hành nên diện tích hình thoi ABCD là
SABCD = a.h.
Xét tam giác vuông AHD thì AH<AD vì đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên => h nhỏ hơn bằng a => ah ≤ a2 => SABCD ≤ SMNPQ.
Trên đây là công thức và dạng bài tập về diện tích và chu vi hình thoi, có nhiều bài tập tính diện tích hình thoi chúng ta sẽ tính chiều cao của hình thoi từ đó tính diện tích, vì hình thoi có đầy đủ tất cả các tính chất của hình bình hành nên có thể áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành, hình thang để có thể tính diện tích hình thang.
